earticle

영어

There is a tight link between the size of flat-top region and the gradient of the partition of unity function. Recent studies show that the condition number of the system can grow arbitrarily large with linear finite element shape functions as a partition of unity even though local approximation functions are linearly independent. As a result, a flat-top partition of unity function is introduced to avoid linear independence. The wide flat-top region in the partition of unity function has been known to ensure the linear independence of mesh-free basis functions. The wider the flat-top is, the smaller so better in the condition number. However, the wider flat-top partition of unity function could result in a large gradient of the partition of unity function as well as large condition number while having a strongly linear independent local basis functions. We demonstrate this phenomenon in a simple Poisson model problem when the flat-top region expands and starts to fill up the support of the partition of unity functions. For the particular problems we have considered, we find that there is an optimal size for the flat-top region in the support of partition of unity function.

한국어

기존의 유한 요소 연구에서는 근사하고자하는 함수의 변화가 크거나 불연속에 가까운 경우 이러한 변 화를 해석하기 위하여 필요한 요소의 숫자를 단계적으로 증가시켜 가며 근사의 적정성을 살펴보게 된다. 본 연구에서는 기존방법과는 차별된 무요소 해석에 대한 가능성을 살펴보기 위하여 간단한 포아송 모델 문제를 활용하여 최적 파티션 함수의 크기에 대해 알아보았다. 본 연구는 무요소해법을 이용하여 함수를 근사 할 때 파티션 함수의 최적 크기가 존재함을 시사한다. 파티션 함수의 최적크기는 무요소법을 이용 하여 유로피안이나 아메리칸 옵션의 그릭을 살펴볼 때 유용하다. 무요소 해석을 위한 파티션 함수의 크 기에 대한 최근의 연구 결과들을 살펴보면 파티션 함수가 완전히 겹치지 않고 일부 포개질 경우 더 정확 히 문제를 풀 수 있다고 알려져 있다. 하지만 파티션함수의 크기가 극단적으로 커지는 경우에는 연구결 과를 찾을 수 없었다. 새로운 모델링 기법인 무요소법의 경우 파티션 함수의 크기를 키울수록 방정식의 해의 변화를 더 효율적으로 기술할 수 있으리라 기대하였으나 특별한 경우에는 기존연구 결과와 일부 상반된 결과가 얻어짐을 확인 하였다. 즉, 기존 연구에서는 파티션 함수의 겹치는 영역이 작아져 파티션 함수의 크기가 커지면 커질수록 좋은 결과를 얻었으나 파티션 함수의 겹치는 영역이 극단적으로 작아지 면 오히려 그 반대의 현상이 나타날 수도 있음을 확인하였다.